Ich hatte das Problem auch, lag an der Konfiguration von Sendmail, die ich aber nicht ändern wollte. Im /var/log/mail findest Du auch eine entsprechende Fehlermeldung. Man muss sich halt mit einer gültigen Mailadresse identifizieren. Ich weiss zwar nicht ob das Dein Problem ist, ein Versuch ist es aber sicher Wert.
Du sagtest, das stand im Apachen error.log. Bisher hat dein Exim also noch nichts nachweisbares geloggt. Was steht denn bitteschön in den Eximlogs? Wie sieht dein sendmail_path in PHP aus?